"하나가 두 배가 되면 다른 하나는 반" — 두 양의 곱이 항상 일정한, 또 하나의 변화 패턴.
"청소를 1명이 60분에 끝낼 수 있다면, 2명이 함께 하면? 3명이 함께 하면?" — 사람 수와 시간 사이의 관계.
한 사람이 $60$분에 끝낼 청소를 여러 명이 함께 한다고 하자. 인원 $x$와 걸리는 시간 $y$의 관계는?
| 인원 $x$ (명) | 시간 $y$ (분) | $x \cdot y$ |
|---|---|---|
| 1 | 60 | 60 |
| 2 | 30 | 60 |
| 3 | 20 | 60 |
| 4 | 15 | 60 |
| 6 | 10 | 60 |
관찰 1. $x$가 2배가 되면 $y$는 반($\dfrac{1}{2}$배). $x$가 3배 → $y$는 $\dfrac{1}{3}$배.
관찰 2. $x \cdot y$ (곱)는 항상 같다. (모두 60)
관찰 3. 한 줄의 식으로 적으면 $xy = 60$, 즉 $y = \dfrac{60}{x}$. 모든 행이 이 식 하나로 묶인다.
이런 관계를 반비례라고 한다.
"$x$가 늘어남에 따라 $y$가 같은 배수로 줄어들고, 둘의 곱이 일정"한 관계가 반비례입니다.
두 변수 $x$, $y$ 사이에 $x$가 $2$배, $3$배, $\cdots$가 됨에 따라 $y$는 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac{1}{3}$배, $\cdots$가 되는 관계가 성립할 때, $y$는 $x$에 반비례한다고 한다.
이때 두 변수 사이에는 다음과 같은 식이 성립한다.
여기서 상수 $a$를 비례상수라 한다. ($xy = a$로 쓰기도 한다.)
$y = \dfrac{a}{x}$의 분모가 $x$이므로 $x = 0$일 때는 정의되지 않는다. 즉 표나 그래프에서 $x = 0$인 점은 빠진다.
또한 $y \neq 0$이기도 한다 (만약 $y = 0$이라면 $a = 0$이 되어 반비례가 아님). 즉 반비례 그래프는 어떤 축과도 만나지 않는다.
반비례 관계 역시 식·표·곱·문장 — 네 가지 언어로 동시에 표현됩니다.
분수 꼴 또는 곱이 일정 꼴.
$x$가 2배 → $y$는 반. 반대 방향.
$xy$가 항상 같다. 어느 행을 봐도.
두 부분으로 나뉜 곡선(쌍곡선). 다음 차시에서!
표가 주어졌을 때 반비례인지 빠르게 판별하려면 각 행의 $x \cdot y$를 계산해 보면 된다. 모든 행에서 곱이 같으면 반비례, 다르면 반비례가 아니다.
이 곱이 바로 비례상수 $a$이다.
두 관계가 어떻게 닮았고 어떻게 다른지 한 눈에 정리해 봅시다.
$x$가 $n$배 → $y$도 $n$배. 함께 변한다.
$x$가 $n$배 → $y$는 $\dfrac{1}{n}$배. 반대로 변한다.
반비례 관계 $y = \dfrac{a}{x}$에서 $a$ 값을 바꾸면 표·곱·곡선이 어떻게 변하는지 직접 확인해 보세요.
$y$가 $x$에 반비례하면 $y = \dfrac{a}{x}$ ($a \neq 0$). 비례상수 $a$는 $xy$의 일정한 값이며, $x = 0$과 $y = 0$은 모두 불가능.